BLOQUE SEIS SIETE Y OCHO

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

 

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

gráfica

Se denota por sen B.

razones

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

razones

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

razones

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

razones

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

razones

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

razones

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ALFABETO GRIEGO

MAYÚSCULAS

minúsculas

nombre en griego

nombre español

Letra latina

A

a

alja

Alfa

A

B

b

bhta

Beta

B

G

g

gamma

Gamma

G (ga,gue,..)

D

d

dejlta

Delta

D

E

e

eyilon

Épsilon

E (breve)

Z

z

zhta

Dseta

Ds

H

h

hta

Eta

E (larga)

Q

q

qhta

Zeta

Z (za, ce,...)

I

i

iwta

Iota

I

K

k

kappa

Kappa

K (ca, ke,..)

L

l

lambda

Lambda

L

M

m

mu

Mi

M

N

n

nu

Ni

N

X

x

xi

Xi

X (=ks)

O

o

omikron

Ómicron

O (breve)

P

p

pi

Pi

P

R

r

rw

Rho

R, rr

S

s, V

sigma

Sigma

S (V al final)

T

t

tau

Tau

T

U

u

uyilon

Ípsilon

I (u francesa)

F

j

ji

Fi

F

C

c

ci

Ji

J (kh)

Y

y

yi

Psi

Ps

W

w

LINEAS TRIGONOMETRICAS

Si consideramos r=1 , entonces se obtiene la circunferencia goniométrica, que nos da inmediatamente el valor de las razones trigonométricas y su representación gráfica como se explica a continuación para un ángulo del primer cuadrante:

sen α =  BC OB = BC 1 =BC = y = ordenada cos α =  OC OB = OC 1 =OC = x = abscisa

tg α =  BC OC = DE OD =DE  sec α =  OB OC = OE OD =  OE 1 =OE

ctg α =  OC BC = OH GH = FG OF = FG 1 =FG  cosec α =  OB BC = OG GH =  OG OF = OG 1 =OG

En los demás cuadrantes, el estudio es análogo, teniendo en cuenta que para obtener la tangente, la cosecante, la secante y la cotangente se prolonga el lado extremo del ángulo hasta que corte a las rectas tangentes a la circunferencia en los puntos (1,0) y (0,1).

   Segundo cuadrante

ctg α =  OC BC = OH GH = FG OF = FG 1 =FG  cosec α =  OB BC = OG GH =  OG OF = OG 1 =OG

   Tercer cuadrante

sen α = CB   ;    cos α = OC   ;  tg α = DE cosec α = OG   ;  sec α = OE   ;  ctg α = FG

   Cuarto cuadrante

sen α = CB   ;    cos α = OC   ;  tg α = DE cosec α = OG   ;  sec α = OE   ;  ctg α = FG

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Circulo unitario

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Periodo

El período de una función trigonométrica se expresa matemáticamente como P= 2π/a donde a es un número cualesquiera y es el término que multiplica a la x y el efecto que produce en la grafica de la función es que produce una expansión en sentido horizontal de la gráfica de la función. El desfase de una función se expresa matemáticamente como d=b/a, si esta relación da un número mayor a cero se dice que estamos desplazando la función hacia el lado izquierdo y si la relación es menor a cero decimos que estamos desplazando a la función hacia el lado derecho, el valor de b nos indica el nuevo origen de la gráfica de la función trigonométrica.

Amplitud

La amplitud es el rango de la función, el período es cada cuanto se repite la porción principal de la gráfica y el desfase el punto desde donde inicia la gráfica de la porción que siempre se repite.

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Triángulos oblicuángulos

Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:

1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

Discusión

Discusión

Discusión

Triángulo

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

triángulo

Triángulos

Triángulos

Triángulos

2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido

Discusión

Discusión

Discusión

Triángulo

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

triángulo

triángulos

triángulos

triángulos

triángulos

3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto

Discusión

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

Triángulo

Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:

1. sen B > 1. No hay solución.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

triángulo

Resolución

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

solución

solución

triángulo

solución

solución

3. sen B < 1. Una o dos soluciones

Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

solución

solución

solución

solución

solución

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

4º. Conociendo los tres lados

Discusión

Discusión

Discusión

Triángulo

Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

solución

solución

solución