MATEMÁTICAS II MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN:

Medidas de tendencia central

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.[1] En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

Entre las medidas de tendencia central tenemos:

Media

Media ponderada

Media geométrica

Media armónica

Mediana

Moda

Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando, en este caso se observan variables cuantitativas.

LA MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.

Por ejemplo, las notas de 5 alumnos en una prueba:

Propiedades

Las principales propiedades de la media aritmética son:[3]

Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.

Su valor es único para una serie de datos dada.

Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.

Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

 \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} - \frac{\sum_{i=1}^n \overline{x}}{n} = \overline{x} - \overline{x} = 0

Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de  \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-k)^2}{n}es mínimo cuando k = \overline{x}. Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si

x_i' = ax_i+bentonces \overline{x'} = a \overline{x} + b, donde \overline{x'}es la media aritmética de los x_i', para i = 1, ..., n y a y b números reales.

Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística.

Inconvenientes de su uso

Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:

Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.

Media aritmética ponderada

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.

MODA

La moda es el dato más repetido de la encuesta, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.[5] En cierto sentido la definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.

Su cálculo es extremadamente sencillo, pues sólo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación

Media muestral

Esencialmente, la media muestral es el mismo parámetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a aquellas situaciones en las que la media aritmética se calcula para un subconjunto de la población objeto de estudio.

La media muestral es un parámetro de extrema importancia en la inferencia estadística, siendo de gran utilidad para la estimación de la media poblacional, entre otros usos.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuánto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

RANGO ESTADÍSTICO

El rango o recorrido interarticular es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R'.

Requisitos del rango

Ordenamos los números según su tamaño.

Restamos el valor mínimo del valor máximo

Rango = {(Max - Min)}

MEDIO RANGO O RANGO MEDIO

El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del mayor y menor valor, o la tercera parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

medioRango = \frac{\ (Max + Min)}{2}

VARIANZA

La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones: